Применение физически-обоснованной нейронной сети на примере моделирования гидродинамических процессов, допускающих аналитическое решение

Рассматривается актуальный подход для разработки физически-обоснованной нейронной сети для решения модельных задач для течения Коважного, геофизического течения Бельтрами, течения на участке реки по теории мелкой воды. Физически-обоснованные нейронные сети (PINN) позволяют существенно сокращать время расчета по сравнению с обычными вычислениями. Для каждого модельного течения существует свое аналитическое решение. Обсуждается архитектура программной библиотеки DeepXDE, ее состав по модулям, приводятся фрагменты программного кода на языке программирования Python. Модель PINN протестирована на тестовой выборке. Оценка предсказания выполнена с помощью метрики MSE. Полносвязанная нейронной сеть может содержать в себе 4, 7,10 скрытых слоев c количеством нейронов 50, 50, 100 соответственно.  Обсуждается влияние гиперпараметров нейронной сети на величину ошибки предсказания. Расчеты, выполненные на сервере с графической картой Nvidia GeForce RTX 3070, позволяют существенно сократить время обучения для PINN.

1. Raissi M., Perdikaris P., Karniadakis G.E. Physics-informed neural networks: A deep learning framework for solving forward and inverse problems involving nonlinear partial differential equations, Journal of Computational Physics 378 (2019) 686-707.

2. Raissi M., Yazdani A., Karniadakis G.E. Hidden fluid mechanics: Learning velocity and pressure fields from flow visualizations, Science 367 (2020) 1026-1030.

3. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. Учебник для вузов. - 7-е изд., испр. - М.: Дрофа, 2003. - 840 с.

4. Петров А.Г. Аналитическая гидродинамика. М.: Физматлит. 2010. - 520 с.

5. Cuomo, Salvatore & Schiano Di Cola, Vincenzo & Giampaolo, Fabio & Rozza, Gianluigi & Raissi, Maziar & Piccialli, Francesco. (2022). Scientific Machine Learning Through Physics–Informed Neural Networks: Where we are and What’s Next. Journal of Scientific Computing. 92. 10.1007/s10915-022-01939-z.

6. Николенко С., Кадурин А., Архангельская Е. Глубокое обучение. Погружение в мир нейронных сетей. 2020. – 480 с.

7. Lu Lu, et al. DeepXDE: A Deep Learning Library for Solving Differential Equations. SIAM REVIEW. 2021. Vol. 63, No. 1, pp. 208–228.

8. https://github.com/lululxvi/deepxde

9. Kovasznay L.I.G. Laminar flow behind a two-dimensional grid. Math. Proc. Cambridge. 1948. V. 44. Is. 1. P. 58–62.

10. Бубенчиков А.М., Попонин В.С., Мельникова В.Н. Разработка универсальной техники реализации неоднородных граничных условий Дирихле и Неймана в методе спектральных элементов, Вестн. Томск. гос. ун-та. Матем. и мех., 2008, номер 2(3), 87–98.

11. Dong S., Karniadakis G.E., Cryssostomidis C. A robust and accurate outflow boundary condition for incompressible flow simulations on severely-truncated unbounded domains. J. Comput. Phys. 2014. V. 261. P. 83–105.

12. Jin X., Cai S., Li H., Karniadakis G.E. NSFnets (Navier-Stokes flow nets): Physics-informed neural networks for the incompressible Navier-Stokes equations. Journal of Computational Physics, Volume 426, 2021, 109951.

13. Беликов В.В., Алексюк А.И. Модели мелкой воды в задачах речной гидродинамики. Российская академия наук, Отделение наук о Земле, Институт водных проблем РАН. – Москва: Российская академия наук, 2020. – 346 с. – ISBN 978-5-907036-22-2.

14. Зиновьев А.Т., Кошелев К.Б., Дьяченко А.В., Коломейцев А.А. Экстремальный дождевой паводок 2014 года в бассейне Верхней Оби: причины, прогноз и натурные наблюдения // Водное хозяйство России: проблемы, технологии, управление. – 2015. – № 6. – С. 93-104.

15. Cedillo S. et al. Physics‑Informed Neural Network water surface predictability for 1D steady‑state open channel cases with different flow types and complex bed profile shapes. Adv. Model. and Simul. in Eng. Sci. (2022) 9:10.

16. Rosofsky S.G. et al. Applications of physics informed neural operators. Mach. Learn.: Sci. Technol. 4 (2023) 025022.

17. Feng D., Tan Z., He Q.Z. Physics-informed neural networks of the Saint-Venant equations for downscaling a large-scale river model. Water Resources Research, (2023). 59, e2022WR033168.